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材料力学中的正应力和正应变基础知识

做机械加工的朋友应该对应力这一概念不陌生,应力是怎么产生的?应力如何计算?接下来一起从材料力学方面全面了解一下什么是应力。

在材料力学中,最基本的概念是应力应变。通过研究一根承受轴向力的柱状杆就能够从根本上揭示这些概念是如何产生的。所谓柱状杆就是轴线为直线且横截面处处相同的直杆;所谓轴向力,就是一个沿某一柱状杆的轴线施加的载荷,它会导致该柱状杆发生拉伸或压缩变形。在图1-19给出的示例中,牵引杆是一根承受拉伸的柱状杆,而起落架支柱是一根承受压缩的柱状杆。其他的例子还有桥梁桁架中的各个杆件、汽车发动机 的连杆、自行车车轮的辐条、建筑物的支柱以及小型飞机机翼的支柱。

为了便于讨论,研究图1-19中的牵引杆,并将其从整体结构中隔离出来,使其成为一个自由体(图1-20a)。在绘制该牵引杆的自由体图时,忽略其自重,并假定主动力仅为作用在该牵引杆两端的轴向力PO接下来,将研究该牵引杆的两个视图,第一个视图表示加载前的牵引杆(图1-20b),第二个视图表示加载后的牵引杆(图1-20c)。注意,该牵引杆的原始长度用字母L,表示,而由于加载而导致的该牵引杆长度的增加量用希腊字母δ表示。

承受轴向载荷的构件

如果使用一个假想的剖切面将牵引杆在截面(图1-20c)处剖开,就可以揭示该牵引杆中的内部作用。由于mn截面与牵引杆的轴线垂直,因此mn截面被称为横截面。

这时,可以把横截面mn左侧部分的杆件隔离出来作为一个自山体(图1-20d)。在该自由体的右手端(横截面mn上),我们给出了该杆件的移除部分(即横截面mn右侧部分的杆件)对保留部分的作用。该作用是由连续分布在整个横截面mn上的应力所形成的,而且,作用在该mn横截面上的轴力P就是这些应力的合力(合力用虚线表示在图1-20d中)。

应力用希腊字母σ表示,其单位是力每单位面积。一般而言,作用在一个平面上的应力,既可能均匀分布在整个平面的面积上,也可能是非均匀分布的(即从平面上一点到另一点,其应力是变化的)。假设作用在横截面mn(图1-20d)上的应力均匀分布在该横截面面积上,则这些应力的合力就必定等于应力的大小与该横截面面积的乘积,即P=σA因此,我们得到了以下关于应力大小的表达式:
σ=P/A

该式给出了在一个横截面为任意形状的轴向承载柱状杆中的均布应力的强度。

受拉伸的柱状杆

当柱状杆在力P的作用下受到拉伸时,该杆中的应力为拉应力(tensilestresses);反之,如果该作用力是反向的,使柱状杆受到压缩,则得到压应力。由于这类应力的作用方向垂直于剖切面,因此,它们被称为正应力(normalstresses)。正应力即可以是拉应力,也可以是压应力。应力的另一种类型——切应力,切应力的作用方向与剖切面平行。
当需要约定正应力的符号时,通常约定:拉应力为正,压应力为负。
由于正应力σ等于轴力除以横截面面积,因此其单位(units)是力每单位面积。
在国际单位制((SI)中,力的单位为牛[顿](N),面积的单位为平方米。因此,应力的单位是牛[顿]每平方米(N/m2),即帕[斯卡](Pa)。然而,帕[斯卡](Pa)是一个非常小的应力单位,因此,通常使用兆帕(MPa)这样较大的应力单位。而且,虽然不推荐,但有时会使用牛[顿]每平方毫米(N/mm2)作为应力单位(lN/mm2=lMPa)。
局限性:只有当应力均匀分布在柱状杆的横截面上时,公式σ=P/A才是有效的。如果轴向力P的作用线穿过横截面面积的形心,那么,公式σ=P/A的有效性就得以实现。当载荷P没有作用在形心处时,柱状杆将发生弯曲,这时就必须进行更为复杂的分析。

图1-20d所示的均匀应力分布状况遍及该柱状杆的整个长度,但端部附近除外。柱状杆端部的应力分布状况取决于载荷P的施加方式。如果碰巧载荷均匀分布在柱状杆的端部,则端部的应力分布状况与其他位置是相同的。然而,更可能的情况是,载荷通过销或螺栓被施加在柱状杆的端部,并因而产生较高的局部应力,这一现象被称为应力集中。
如图1-21所示的眼杆就是上述可能情形的一个示例在图1-21中,销穿过该眼杆端部的眼孔,载荷P被销传递给眼杆。于是,图中所示的力P实际上是销与眼杆之间相互挤压力的合力,而且,孔周围的应力分布状况是十分复杂的。不过,一旦离开该杆的端部并移向其中间部分,应力就逐渐地接近图1-20d所示的均匀分布状况。

实践中使用的规则是:对于柱状杆内远离应力集中的距离至少等于该杆横向尺寸的那些点,公式σ=P/A具有良好的适用精度。换句话说,对于图1-21所示眼杆,在与两端距离为b或大于b(b为该眼杆的宽度)的位置处,其应力是均匀分布的;对于图1-20所示柱状杆,在与端部的距离为d或大于d(d是该柱状杆的宽度,图1-20d)的位置处,其应力是均匀分布的。

承受拉伸载荷P的钢制眼杆
当然,即使在应力分布不均匀的情况下,等式σ=P/A仍然可能是有用的,因为它给出了横截面上的平均正应力。
正如已经观察到的那样,施加轴向载荷时,一根直杆将发生长度的改变,拉伸时变长,压缩时变短。再次以图1-20所示柱状杆为例,该杆的伸长量δ(图1-20c)是其整个体积内所有材料微元的拉伸量累加的结果。假设该杆中各处的材料都相同,那么,如果只研究该杆的一半(长度为L/2),则伸长量将等于δ/2;如果只研究该杆的四分之一,则伸长量将等于δ/4。
一般而言,直杆中某一段的伸长量等于该段的长度除以该直杆的总长度L,再乘以该直杆的总伸长量δ。因此,就单位长度的直杆而言,其伸长量等于1/L×δ。这一伸长量被称单位长度伸长量,或应变〔strain),并以希腊字母ε表示。可以看出,应变由下式确定:

如果该杆受到拉伸,则称这时的应变为拉应变(tensilestrain),它代表材料的伸长或延伸。如果该杆受到乐缩,则这时的应变就是压应变(compressivestrain),该杆将缩短。通常用正值表示拉应变,用负值表示压应变。应变被称为正应变(normalstrain),因为它与正应力有关。
由于正应变是两个长度的比值,是一个无量纲的量,即它没有单位。因此,可将应变简单表示为一个独立于任何单位制的数。应变的数值通常非常小,因为对于由各类结构材料制成的杆件,在受到载荷作用时,其长度仅发生很小的变化。以一根长度L为2m的钢杆为例,当对该杆施加较大的拉伸载荷时,该杆可能仅伸长1.4mm,这意味着应变为:

ε=δ/L=1.4mm/2.0m=0.0007=700×10﹣6

在实践中,δ和L的原始单位有时会被标记在应变数值之后,这时应变以诸如mm/m、μm/m和in/in等形式来表示。例如,上述正应变ε可以按700μm/m或700×10﹣6m/m的形式给出。应变有时也可以百分比的形式来表示,特别是当应变较大时(在上述例子中,应变为0.07%)。
单向应力和应变(Uniaxial Stress and Strain),正应力和正应变的定义基于纯粹的静力学和几何学,这就意味着,式(1-1)和式(1-2)适用于任何大小的载荷和任何材料。其主要要求是,杆件的变形应均匀分布在其整个体积内,这就反过来要求杆件应是柱状的,载荷的作用线应通过横截面的形心且材料应是均匀的(即杆件的所有部分都是相同的)。由此产生的应力与应变状态,被称为单向应力和应变(尽管会出现横向应变)。

轴向力的作用线与应力的均布在上述关于柱状杆中应力和应变的讨论中,假设正应力σ均匀分布在横截面上。现在证明,如果轴向力的作用线通过横截面面积的形心,则满足这一假设。
研究一根受到轴向力P(该力产生均布应力σ)作用的任意截面形状的柱状杆(图1-22a)。用P1表示横截面上的一个点,力P的作用线通过该点贯穿横截面(图1-22b);同时,在横截面所在的平面内建立一个xy坐标系,并以¯x和¯y表示点P1的坐标。为了确定¯x和¯y表的值,我们观察到,力P对x轴和y轴的力矩Mx和My,必须分别等于均布应力关于相应轴的力矩。
力P对x轴和y轴的力矩分别为:
Mx=P¯y    My=-P¯x

其中,当力矩矢量(使用右手法则)作用在相应轴的正方向时,该力矩为正。
该分布应力对各轴的力矩可通过在整个横截面面积A上积分的方法得到。作用在微面积单元dA(图1-22b)上的微力等于σdA。该微力对x、y轴的力矩分别等于σydA和-σydA(其中,x、y为微元dA的坐标)。于是,通过在整个横截面面积A上积分,就可以得到合力矩:

Mx=∫σydA
My=∫σxdA

这两个表达式给出了应力伊所产生的力矩。 接下来,使力P的力矩Mx和My与该分布应力σ的相应力矩分别相等,即:
P¯y=∫σydA
P¯x=∫σxdA

由于应力σ是均匀分布的,由此可知,应力σ的值在整个横截面面积上是恒定的,因此,可将σ置于积分符号的外面。同时,还已知σ等于P/A。基于这两个已知条件,可得到以下有关点坐标的表达式:
¯y=∫ydA/A
¯x=∫xdA/A

这两个公式与定义面积形心坐标的公式是相同的。因此,可得出一个重要结论:为了使一根柱状杆受到均匀的拉伸或压缩,轴向力的作用线必须通过横截面面积的形心。

柱状杆中均匀的应力分布

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